極難

考慮以下正整數：

若以上正整數的平均值及中位數均為 $6$，則下列何者必為正確？

I. 以上正整數的眾數為 $6$。 II. 以上正整數的最小可取分佈域為 $6$。 III. 以上正整數的最大可取方差為 $6$。

已知 $\log_a y$ 為 $x$ 的線性函數，其中 $0<a<1$。該線性函數的圖像在垂直軸上的截距及在水平軸上的截距分別為 $6$ 及 $3$。若 $y=mn^x$，則下列何者正確？

I. $m<1$ II. $n<1$ III. $mn^3=1$

圖中，$ABCDEFGH$ 為一正方體。設 $\alpha$ 為 $\triangle AFG$ 與 $\triangle AFH$ 間的交角，而 $\beta$ 為 $\triangle AFH$ 與 $\triangle FGH$ 間的交角。下列何者正確？

設 $O$ 為原點。點 $A$ 及點 $B$ 的坐標分別為 $(a,0)$ 及 $(0,b)$，其中 $a$ 及 $b$ 均為正數。若 $\triangle OAB$ 的外心在直線 $4x+16y=17a$ 上，則 $a:b=$

一盒子內有 $2$ 個白球、$2$ 個黃球及 $3$ 個紅球。某男生及某女生輪流從該盒子中隨機取一個球，且取球後須放回該盒子中，直至其中一人取出白球或黃球為止。該男生首先取球。求該女生取出白球的概率。

設 $p(x)$ 為一多項式。當 $p(x)$ 除以 $x+1$ 時，餘數為 $-2$。若 $p(x)$ 可被 $x-1$ 整除，求當 $p(x)$ 除以 $x^2-1$ 時的餘式。

某兩實心半球體的總表面面積之和為 $351\pi\text{ cm}^2$。若較小的半球體的半徑與較大的半球體的半徑之比為 $2:3$，則該兩半球體的體積之差為

圖中，$ABCD$ 為一正方形。設 $E$ 及 $F$ 分別為 $AB$ 及 $BC$ 上的點使得 $AE=3BE$ 且 $\angle DEF=90^\circ$。若 $\triangle DEF$ 的面積為 $25\text{ cm}^2$，則 $\triangle CDF$ 的面積為

設 $a$、$b$ 及 $c$ 均為正常數。在同一直角坐標系上，$y=a+\log_b x$ 的圖像及 $y=\log_c x$ 的圖像分別與 $x$ 軸相交於點 $S$ 及點 $T$。將原點記為 $O$。求 $OT:OS$。

設 $\alpha$ 為一實數。定義 $u=w+\dfrac{1}{w}$ 及 $v=w-\dfrac{1}{w}$，其中 $w=\dfrac{\alpha+i}{\alpha-i}$。下列何者必為正確？ I. $u$ 為一實數。 II. $v$ 的實部等於 $0$。 III. $w$ 的虛部等於 $2w$ 的虛部。