代數及幾何

設 $\text{T}(n)$ 為一等差數列的第 $n$ 項。若 $\text{T}(11)=83$ 及 $\text{T}(25)+\text{T}(30)=463$，求 $k$ 的最小值使得 $\text{T}(1)+\text{T}(2)+\text{T}(3)+\cdots+\text{T}(k)>4\times 10^5$。

存款 $\$88\,000$，年利率 $6\%$，年期 $4$ 年，複利計算，每月一結。求利息準確至最接近的元。

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $8$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $(2n+6)$ 粒點子所組成。求第 $7$ 個圖案的點子數目。

設 $a_n$ 為一等比數列的第 $n$ 項。已知 $a_1=8p^2$、$a_2=1$ 及 $a_3=27p$，其中 $p$ 為一實數。求 $a_4$。

若 $p,q,r,s$ 為一等比數列，則下列何者必為正確？ I. $ps=qr$ II. $p+s=q+r$ III. $p<q<r<s$

已知 $\mathrm{T}(n)$ 為一等差數列的第 $n$ 項。設 $x_1$、$y_1$ 及 $z_1$ 分別為 $\{\mathrm{T}(1),\mathrm{T}(2),\mathrm{T}(3),\ldots,\mathrm{T}(49)\}$ 這組數的中位數、分佈域及方差，而 $x_2$、$y_2$ 及 $z_2$ 分別為 $\{\mathrm{T}(51),\mathrm{T}(52),\mathrm{T}(53),\ldots,\mathrm{T}(99)\}$ 這組數的中位數、分佈域及方差。下列何者必為正確？ I. $x_1<x_2$ II. $y_1=y_2$ III. $z_1>z_2$

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $3$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $(2n+1)$ 粒點子所組成。求第 $7$ 個圖案的點子數目。

若 $a>0$，則下列何者為等差數列？ I. $\log a^{-3},\ \log a,\ \log a^5$ II. $8-4a,\ 9-5a,\ 10-6a$ III. $\cos(90-a)^\circ,\ \cos 90^\circ,\ \cos(90+a)^\circ$

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $6$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $4$ 粒點子所組成。求第 $9$ 個圖案的點子數目。

一等比數列的第 $2$ 項與第 $5$ 項之和為 $9$，而該數列的第 $7$ 項與第 $10$ 項之和為 $288$。求該數列的第 $20$ 項。