代數及幾何

設 $a_n$ 為某數列的第 $n$ 項。若 $a_3=21$、$a_6=89$ 及對任意正整數 $n$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$，則 $a_1=$

若某數列的首 $n$ 項之和為 $6n^2-n$，則下列何者正確？ I. $22$ 為該數列的其中一項。 II. 該數列的第 $1$ 項為 $5$。 III. 該數列為一等比數列。

某等差數列有 $49$ 項。若該數列首 $7$ 項的方差為 $9$，則該數列最後 $7$ 項的方差為

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $1$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $(2n+2)$ 粒點子所組成。求第 $7$ 個圖案的點子數目。

下列何者為等差數列？

I. $\pi^{30},\pi^{45},\pi^{60}$ II. $30\pi,45\pi,60\pi$ III. $\pi-30,\pi-45,\pi-60$

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $9$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $5$ 粒點子所組成。求第 $7$ 個圖案的點子數目。

設 $a_n$ 為一等比數列的第 $n$ 項。若 $a_3=21$ 及 $a_7=189$，則下列何者必為正確？

I. 該數列的公比小於 $1$。 II. 該數列的某些項為無理數。 III. 該數列的首 $99$ 項之和大於 $3\times 10^{24}$。

圖中，第 $1$ 個圖案包含 $5$ 粒點子。對任意正整數 $n$，第 $(n+1)$ 個圖案是由第 $n$ 個圖案加上 $4$ 粒點子所組成。求第 $6$ 個圖案的點子數目。

現有砂糖一袋。該袋內砂糖的重量量得 $5\text{ kg}$ 準確至最接近的 $\text{kg}$。若將該袋砂糖包裝成 $n$ 包使每包內砂糖的重量均量得 $10\text{ g}$ 準確至最接近的 $\text{g}$，求 $n$ 的最大可取值。

設 $x_n$ 為一等比數列的第 $n$ 項。若 $x_6=216$ 及 $x_8=96$，則下列何者必為正確？

I. $x_3=729$ II. $\dfrac{x_5}{x_7}>1$ III. $x_2+x_4+x_6+\cdots+x_{2n}<2\,015$