數字、函數、指數

設 $\alpha$ 為一實數。定義 $u=w+\dfrac{1}{w}$ 及 $v=w-\dfrac{1}{w}$，其中 $w=\dfrac{\alpha+i}{\alpha-i}$。下列何者必為正確？ I. $u$ 為一實數。 II. $v$ 的實部等於 $0$。 III. $w$ 的虛部等於 $2w$ 的虛部。

$\dfrac{6x}{(3x^{-5})^{-2}}=$

$\dfrac{5}{4k+3}-\dfrac{2}{4k-3}=$

設 $f(x)=3x^2-x-2$。若 $\beta$ 為一常數，則 $f(1+\beta)-f(1-\beta)=$

某船位於燈塔以西 $50\text{ km}$。若該船沿 $\text{S}60^\circ\text{E}$ 方向移動，求該船與燈塔間的最短距離。

設 $A$ 為直線 $9x+4y-7=0$ 與直線 $9x-4y+7=0$ 的交點。若 $P$ 為直角坐標平面上的一動點使得 $P$ 與 $A$ 間的距離為 $8$，則 $P$ 的軌跡為一

直線 $L$ 的方程為 $kx+4y-2k=0$，其中 $k$ 為一常數。若 $L$ 垂直於直線 $6x-9y+4=0$，求 $L$ 的 $y$ 截距。

$\text{B}000000000000030_{16}=$

若方程 $(\log_\pi x)^2-10\log_\pi x+24=\log_\pi x$ 的根為 $\alpha$ 及 $\beta$，則 $\alpha\beta=$

圖中所示為在同一直角坐標系上 $y=a^x$ 的圖像及 $y=b^x$ 的圖像，其中 $a$ 及 $b$ 均為正常數。若 $y=a^x$ 的圖像為 $y=b^x$ 的圖像對 $y$ 軸的反射影像，則下列何者正確？ I. $a<1$ II. $b>1$ III. $ab=1$